Burdž Chalífa je nejvyšší stavba světa. Tento dubajský mrakodrap má výšku 828 m, 162 pater a podlahovou plochu 464 511 m². Můžete se podívat, co „o Chalífově věži“ píše česká a anglická Wikipedia, případně také oficiální web.

Žádná ze stránek vám ale nepomůže při řešení víkendové fyzikální slovní úlohy. Zajímá nás, jak dlouho bude z vrcholu mrakodrapu padat basketbalový míč o hmotnosti 600 g a průměru 240 mm. A také jakou bude mít těsně před dopadem rychlost.

Napřed zanedbejme vliv odporu prostředí. Neřešte, že by balón puštěný ze špičky budovy poskakoval na stupňovitých patrech. Jsme zkrátka 828 m vysoko a ve vakuu pouštíme dolů balon.

Volitelně ještě můžete zkusit spočítat tzv. mezní rychlost. Tedy nejvyšší reálnou rychlost pádu, kdy se gravitační síla vyrovná s odporovou silou prostředí (vzduchu) a dál už neroste. Uvažujte s hustotou vzduchu ϱ = 1,2 kg/m³ a se součinitelem odporu koule C = 0,50.

Známé proměnné:

• výška budovy: h = 828 m
• gravitační zrychlení: g = 9,81 m/s²
• hmotnost míče: m = 0,6 kg
• průměr míče: d = 0,24 m (r = 0,12 m)

Neznámé proměnné:

• doba pádu: t [v sekundách]
• rychlost při dopadu: v [km/h]
• případně mezní rychlost při započítání odporu vzduchu: v_m [km/h]

Předpokládané řešení

Jedná se o rovnoměrně zrychlený pohyb, přesněji o jeho variantu volný pád. Hmotnost a tvar tělesa nemají při vyloučení odporu vzduchu žádný vliv, nemusí se s nimi proto počítat. Volný pád z klidové rychlosti popisují tyto vzorce:

Když známe výšku, můžeme druhou rovnici převést na výpočet času pádu:

Pro výpočet rychlosti z času pádu také využijeme uvedený vzorec:

Dal by se použít také známý vzorec pro dopadovou rychlost volného pádu, když známe počáteční výšku. Zkusme to pro kontrolu:

Toto ale zatím byly pouze teoretické výsledky, protože odpor vzduchu pád tělesa velmi zpomalí – až na tzv. mezní rychlost. Odporová síla (levá část rovnice) se v takovém případě vyrovná gravitaci (pravá část) a rychlost pádu už dále neroste.

Shrnuto:

• doba pádu: 13 s (63 % správných výsledků)
• rychlost při dopadu ve vakuu: 459 km/h (56 % správných výsledků)
• mezní rychlost při započítání odporu vzduchu: 75 km/h (33 % správných výsledků)

Tři první úspěšní řešitelé: cr7, Jan Tomsa, RedC22

Kdo spočítal, může se podívat na video, jak to vypadá na špičce opravdové Burdž Chalífa: