Přesně před sto lety – 20. listopadu 1924 – se narodil matematik Benoît Mandelbrot [vyslovujte benua mandelbro]. Jeho jméno dnes spojujeme především s fraktály, matematickými objekty, které dokážou jednoduchým způsobem popsat složité přírodní struktury. Právě Mandelbrot objevil jejich krásu a praktický význam pro vědu a techniku.
Nebyl ale jen objevitelem fraktálů. Mandelbrot významně přispěl mnoha oborům – od ekonomie přes lingvistiku až po teorii informace. Jako výzkumník IBM získal přístup k počítačům a s jejich pomocí dokázal své matematické teorie zobrazit a ukázat jejich praktické využití. Zemřel 14. října 2010.
Benoît Mandelbrot v roce 1996
Mandelbrot obor fraktálů představil veřejnosti v roce 1975 ve své knize Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Jeden z nejznámějších fraktálů pak nese jeho jméno – Mandelbrotova množina. Jako první ji matematicky popsali matematici Pierre Fatou a Gaston Julia už v roce 1905. Až v roce 1978 ji schematicky nakreslili Robert W. Brooks a Peter Matelski. Mandelbrot ji v roce 1980 nechal zobrazit počítačem.
Těžké chvosty, šum i proudění
Benoît Mandelbrot se narodil ve Varšavě, v litevsko-židovské rodině. Jeho matka pracovala jako lékařka, otec prodával oděvy. Na mladého Benoîta mělo velký vliv rodinné akademické prostředí, včetně strýce Szolema Mandelbrojta, uznávaného matematika ve Francii.
Rodina uprchla v roce 1936 před nacismem do Paříže. Mandelbrot tam studoval na Lycée Rolin, kde se projevilo jeho výjimečné matematické nadání. Některé složité výpočty dokázal řešit pomocí geometrické představivosti.
„Můj život se zdál být sledem událostí a náhod. Když se však ohlédnu zpět, vidím určitý vzorec.“ —Benoît Mandelbrot
Po válce Mandelbrot absolvoval prestižní École Polytechnique v Paříži. Poté získal magisterský titul z aeronautiky na Kalifornském technologickém institutu. Doktorát z matematiky dokončil v roce 1952 na pařížské univerzitě. Jeho disertace analyzovala statistickou četnost slov v textu.
Zlom přišel v roce 1958 s nástupem do výzkumného centra IBM v New Yorku. Z původně krátkého pobytu se nakonec stalo třicet pět let práce. IBM Mandelbrotovi poskytla svobodu pro výzkum a přístup k nejvýkonnějším počítačům té doby. Jako jeden z prvních tak mohl složité matematické struktury vizualizovat.
Fraktály na osobních počítačích
Pamětníci si vzpomenou, že vykreslování a animace fraktálů byly oblíbenou kratochvílí na osobních počítačích v dobách, která si s počítačově generovanou grafikou ještě příliš netykala. Našli jsme takové nástroje v podobě internetových služeb. Vyzkoušejte si zoomování a hledání typických vzorů:
Mandelbrot se příliš nedržel hranic vědních oborů. Studoval ekonomii, teorii informace, fyziku i lingvistiku. Ve všech oblastech hledal podobné vzorce a zákonitosti. Významně přispěl k pochopení finančních trhů zjištěním, že kolísání cen neodpovídá normálnímu Gaussovu rozdělení. Objevil takzvané „těžké chvosty" a dokázal, že extrémní výkyvy se objevují častěji, než předpokládá klasická teorie pravděpodobnosti.
V oblasti teorie informace pomohl vyřešit problém šumu v telefonních linkách IBM. Odhalil, že chyby v přenosu dat vytvářejí shluky podle zvláštního matematického vzorce. Tento objev vedl i k lepšímu pochopení přenosu digitálních dat. Stejné principy později našel v turbulentním proudění kapalin nebo rozložení galaxií ve vesmíru.
Od roku 1987 Mandelbrot pracoval také na Yale University, kde se stal v roce 1999 profesorem matematických věd. Zůstal aktivním vědcem i ve vysokém věku. Stále nacházel nová využití fraktální geometrie – od modelování klimatu přes architekturu až po medicínu.
V roce 1993 obdržel Benoît Mandelbrot prestižní Wolfovu cenu za fyziku. Mezi jeho další akademické úspěchy patřilo členství v Americké akademii umění a věd, Francouzské akademii věd či více než patnáct čestných doktorátů.
„Toto místo vlastně neexistuje“
IBM v roce 1987 propagovala v časopisech svůj program Fellows. To je nejvyšší technické ocenění, které od roku 1962 uděluje svým zaměstnancům. V inzerátu se odkazuje na fraktály a Mandelbrota.
„Hory existují uvnitř počítače a lze je vidět na obrazovce. Byly vytvořeny pouze pomocí čísel. A existují pouze díky nápadu jednoho člověka. Tím mužem je Benoit Mandelbrot, matematik a člen IBM Fellow. A jeho myšlenka je známá pod jménem, které jí dal: fraktální geometrie. Tato geometrie nyní dokáže vytvářet ohromující obrazy skutečného světa. Vědci a umělci tak mohou vytvářet počítačové obrazy věcí, jako jsou hory, které mají všechny jemné a nepředvídatelné přírodní změny. To nebylo před fraktály možné a mění to způsob, jakým se díváme na svět.“
Co jsou to fraktály
Fraktály znamenaly do jisté míry revoluci v našem chápání světa. Matematici dříve popisovali přírodu hladkými tvary jako přímky, kružnice nebo koule. Skutečný svět však není hladký – pobřeží, mraky, hory nebo stromy mají nepravidelnou strukturu. Fraktály dokážou tuto přírodní nepravidelnost popsat.
Fraktál je geometrický útvar, který opakuje stejný vzor v různých měřítkách. Když se na něj díváme pod lupou, vidíme stále stejné struktury. Dobrým příkladem je kapradí. Každý list se skládá z menších lístků, které mají stejný tvar jako celý list. Podobně funguje větvení stromů nebo řek, struktura plic či krevního řečiště.
Fraktálové struktury najdeme také v římském květáku romanesco
Mandelbrot tento princip objevil, když zkoumal zdánlivě nesouvisející problém – délku britského pobřeží. Uvědomil si, že čím přesněji pobřeží měříme, tím vychází delší. Při každém přiblížení totiž nacházíme nové záhyby a detaily. Délka pobřeží by teoreticky mohla být nekonečná. Tento princip platí pro mnoho přírodních struktur.
Slovo fraktál vytvořil Mandelbrot v roce 1975 z latinského fractus – rozbitý, zlomený. Na počítačích IBM pak vytvářel úchvatné obrazce z jednoduchých matematických pravidel.
Fraktály charakterizuje tzv. fraktální dimenze. Ukazuje růst složitosti objektu při změně měřítka. Čára má dimenzi jedna, plocha dva, krychle tři. Fraktály pak mají často neceločíselnou dimenzi – například pobřeží přibližně 1,2. Není to totiž ani hladká čára, ani plocha. Vyšší dimenze znamená „drsnější“ a složitější objekt.
Prvky v Mandelbrotově množině se opakují a mají své názvy: srdcovka, žárovka, údolí mořských koníků, mořský koník, ocas mořského koníka, dvojitá spirála, anténa, minibrot, ostrov… Jiné typy fraktálů mají zase své typické prvky
Počítačová grafika používá fraktály k tvorbě realistických krajin nebo textur. Fraktální antény zachycují široké spektrum frekvencí. V medicíně pomáhají diagnostikovat rakovinné buňky podle struktury tkání. Ekonomové používají fraktální modely k analýze finančních trhů.
A fraktály pronikly také do umění. Sám Mandelbrot je považoval za most mezi uměním a vědou, kdy ukazují, že i zdánlivý chaos může skrývat jednoduchý řád.
Podívejte se na přednášku Benoîta Mandelbrota „Fraktály a umění drsnosti“ z roku 2010:
Jestli máte čas, pusťte si video, které se noří hluboko do nekonečné struktury fraktálu:
Zdroje: Wikipedia (CZ, EN, DE), Britannica, IBM (články Benoît Mandelbrot, Fractal Geometry), NAS Online (PDF), Fractal Foundation