Já jsem je četl velmi pozorně, právě proto odpovídám a vysvětluji. To, co tvrdíš, je prostě nesmysl. Principem neeukleidovské geometrie jsou právě ty "jinak fungující přímky a rovnoběžky". Bez pochopení těchto principů nemůžeš tvrdit, že rozumíš základům neeukleidovské geometrie. A opakovaně dokazuješ, že těm principům nerozumíš.
Původně se celé generace vědců domnívaly, že pátý Euklidův postulát je v podstatě zbytečný, že vychází z předchozích čtyř. Až N. I. Lobačevskij v roce 1826 dokázal, že se jedná o další postulát, který celkově definuje eukleidovskou geometrii. Lze postulovat (definovat) jinou rovinu, kde pátý postulát nebude fungovat a jako příklad uvedl geometrii hyperbolickou a později k tomu přibyla sférická geometrie. Význam této práce byl doceněn až mnohem později, kdy ji Einstein zobecnil při definici zakřiveného prostoru v rámci teorie relativity.Je potřeba si uvědomit, že rovina i plochy v rámci neeukleidovské geometrie jsou myšlenkový idealizovaný konstrukt a jako s takovými s nimi pracovat. V reálném prostoru nemusí taková ideální pravidla nutně platit, ale dávají nám matematický model, který realitu popisuje s větší či menší odchylkou. Vezmu to na prvních dvou Euklidových postulátech:1. každé dva body v rovině mohu spojit; nejkratší možná spojnice těchto dvou bodů je úsečka
2. libovolnou úsečku mohu prodloužit v přímém směru na obou koncích (přímka)Zastavím se nejdříve u prvního bodu. Jak vlastně zjistím, že mám nejkratší možnou vzdálenost mezi dvěma body? Mohu tu vzdálenost změřit. Je celkem jedno, co k měření použiju - kousek provázku, vyskládaná dřívka, pravítko, světelný paprsek, vše v dané rovině mi dá stejný výsledek, najdu nejkratší možnou spojnici, tj. úsečku. Samotná vzdálenost je vlastnost odehrávající se jen a pouze v té rovině, jakýkoli nástroj musí opět fungovat jen a pouze v dané rovině.Lobačevskij proto zkusil myšlenkový konstrukt - co se stane, pokud definuji rovinu jako zakřivené těleso? Jako hyperbolický útvar? Jakýkoli nástroj, jakékoli měření se i nadále bude odehrávat výhradně v této rovině a tedy úsečka v dané rovině bude plně splňovat první Euklidův postulát. Bude to nejkratší spojnice dvou bodů v definované (!) rovině. Stejně tak tam budou platit i další postuláty - mohu zkonstruovat přímku jdoucí do nekonečna, mohu zkonstruovat kružnici se středem v jednom bodě (3. postulát) i pravé úhly si jsou rovny (4. postulát). Mám rovinu, kde platí čtyři první postuláty, ale už tam neplatí postulát pátý! Lobačevskij tímto dokázal, že pátý postulát nevychází z prvních čtyř. To je to, oč se Lobačevskij snažil. Jednalo se mu pouze o matematický důkaz, že pátý postulát není důsledek prvních čtyř.Důležitost tohoto objevu si uvědomili později až jiní a vznikla celá neeukleidovská geometrie, která se začala zabývat geometrií zakřivené roviny. K hyperbolickému zakřivení přibylo i zakřivení sférické. Jak důležité to je, ukázal Albert Einstein, který svou Teorií relativity ukázal, že celý náš prostor je zakřivený. To je ten zásadní výsledek objevu neeukleidovské geometrie.A k čemu ta neeukleidovská geometrie je? Běžně se uvádí užitečnost geometrie kulové plochy, tj. geometrie zemského povrchu. Má to ale mnohem zásadnější důsledky. U kulové plochy si zakřivení uvědomujeme, protože přímo vidíme její zakřivení ve třetím rozměru. Co ale zakřivení prostoru jako takového?O pár odstavců výš jsem psal o měření v rámci roviny. Jsme ve stejné situaci v prostoru - chceme mít jistotu, že máme úsečku, tedy změříme, že se jedná o nejkratší možnou spojnici v prostoru. A měření (provázkem, klacíky, pravítkem či světlem) nám dá jasnou a konkrétní odpověď, zda daná spojnice opravdu nejkratší je. Zejména u světla, protože světlo se skutečně tou nejkratší možnou cestou v prostoru pohybuje. Zdůrazňuju to nejkratší možnou cestou v prostoru... Tohle byl nezpochybnitelný předpoklad a z praktického hlediska platí i nadále, nicméně nyní už víme, že prostor je na mnoha místech zakřivený a ta nejkratší možná spojnice je v prostoru celkem zajímavá křivka. Tohle dokázal právě Albert Einstein svou Teorií relativity, kde mimo jiné zobecnil principy neeukleidovské geometrie a ukázal zakřivení prostoru díky gravitaci. Dal nám matematický aparát pro důkaz toho, zda prostor (či jakákoli rovina či úsečka) je zakřiven. A díky tomuto aparátu bylo možné předpovědět některé viditelné důkazy zakřivení (gravitační čočky), v jiných případech pak zůstává důkazem jen a pouze matematika a principy neeukleidovské geometrie.Čili znovu na začátek. Neeukleidovská geometrie ukazuje chování v zakřivené rovině, na ploše imaginárního tělesa. Jakýkoli výkřik, že přímka tam přece není přímka, je prostě nesmyslný a je to důkazem nepochopení celé věci. Přímka je tam přímka, protože vyhovuje definici přímky v této konkrétní zakřivené rovině.