Po více než čtvrtstoletí došlo k významnému průlomu v oblasti prvočísel. Tým matematiků pod vedením Bena Greena z Oxfordu a Mehtaaba Sawhneyho z Massachusetts Institute of Technology (MIT) objevil nový způsob, jak kombinovat čísla za účelem nalezení prvočísel. Tento objev odpovídá na otázky staré více než 25 let a otevírá dveře dalším pokrokům v teorii čísel a příbuzných oblastech matematiky.
Nové nejvyšší prvočíslo
21. října letošního roku se podařilo najít nové největší známé prvočíslo, které má neuvěřitelných 41 milionů číslic. Za objevem stojí amatérský matematik Luke Durant, který k jeho nalezení využil tisíce grafických karet. Prvočíslo, označované jako M136279841, patří mezi tzv. Mersennova prvočísla, což jsou čísla, která mají tvar 2n - 1. Právě díky této specifické formě jsou Mersennova prvočísla o něco snazšími na hledání, a proto jsou oblíbeným cílem hledačů.
Úspěch přišel po šesti letech od posledního rekordu, který byl o celých 16 milionů číslic kratší. Durant využil speciální software GIMPS, který zapojuje dobrovolníky z celého světa do společného hledání prvočísel. V minulosti se k výpočtům používaly hlavně běžné procesory v osobních počítačích, ale Durant díky své zkušenosti z Nvidie vsadil na sílu GPU. Tyto karty, původně navržené pro herní průmysl, se ukázaly jako ideální nástroj pro náročné matematické výpočty.
Přestože zatím nemají velká prvočísla praktické využití, podobné objevy mohou mít v budoucnu velký význam. Už dnes jsou prvočísla klíčová pro kryptografii a šifrování, což je obor, který se neustále vyvíjí. A jak říká profesor Kevin Buzzard: „I když teď žádné využití pro tak velká čísla nemáme, jednoho dne možná přijde.“ Zbývá dodat, že nové nejvyšší prvočíslo má hodnotu 2136,279,841 - 1.
K čemu jsou nám prvočísla?
Prvočísla jsou čísla, která lze dělit pouze sebou samými a jedničkou. Tato „základní stavební kameny“ matematiky hrají klíčovou roli v celých číslech a jejich vlastnosti byly v průběhu staletí opakovaně zkoumány. Jak říká Benjamin Green: „nové objevy týkající se prvočísel se neobjevují často, takže když už se něco nového objeví, má to vždy významný dopad“.
Prvočísla hrají klíčovou roli v zabezpečení informací, především v kryptografii. Moderní šifrovací techniky, jako je například algoritmus RSA, jsou založeny právě na vlastnostech prvočísel a na jejich obtížné faktorizaci. Nové metody objevené Greenem a Sawhneym by mohly v budoucnu přinést inovace v tomto odvětví a zvýšit bezpečnost digitální komunikace.
Pro laiky mohou prvočísla působit tak trochu záhadně, avšak jejich studium přináší praktické výsledky, které ovlivňují náš každodenní život. Ať už se jedná o bezpečnost na internetu, výpočty v matematice nebo zkoumání nekonečna, budou vždy důležitým tématem pro další vývoj matematiky.
Poslední velký objev přišel v roce 1998
Jednou z nejznámějších výzev spojených s prvočísly je Velká Fermatova věta formulovaná Pierrem de Fermatem již v roce 1640. Věta tvrdí, že neexistují žádná celá čísla a, b a c, která by vyhovovala rovnici an + bn = cn pro jakékoli celé číslo n větší než 2. Ačkoliv věta vypadá na první pohled jednoduše, její důkaz trval více než 350 let.
Britský matematik Andrew Wiles, působící v té době na Princetonské univerzitě, překvapil v roce 1993 svět tím, že Fermatovu větu dokázal. Tento důkaz přinesl nejen odpověď na dávnou otázku, ale také vedl k pokroku v oblasti prvočísel. A právě to hrálo důležitou roli v dalším vývoji teorie čísel.
V roce 1998 přišli matematici Henryk Iwaniec a John Friedlander s důkazem, že lze získat prvočísla přidáním čísel ve formě x2 + y4, kde jedno z čísel musí být samo o sobě prvočíslo. Přestože byl jejich objev významný, nedařilo se jim jejich variantu rovnice dokázat. Hypotéza tvrdí, že jakákoli dvě prvočísla kombinovaná ve formě x2 + (2y)2 by měla také vést k prvočíslu.
Nyní se to podařilo dokázat
Po letech bádání nyní Green a Sawhney tuto domněnku úspěšně dokázali, což je první významný pokrok od práce Iwanieca a Friedlandera. „Lidé čekali 25 let a nevěděli, jaké techniky budou potřeba k dosažení výsledku této kvality, ale Greenovi a Sawhneymu se to podařilo. Je to fantastický úspěch,“ komentoval objev Alex Kontorovich z Rutgersovy univerzity.
K dosažení tohoto úspěchu využili Green a Sawhney pokročilé matematické nástroje. Použité techniky byly zásadní při studiu distribuce prvočísel a odhalily, jakým způsobem lze zdánlivě chaotická čísla strukturovat. Právě použití nástrojů z různých oblastí matematiky, jako jsou teorie čísel a kombinatorika, bylo podle Greena klíčové.
Kromě samotného důkazu je fascinující také způsob, jakým Green a Sawhney pracovali. Jejich nová technika má podle mnohých potenciál inspirovat další objevy v matematice. Jak říká Kontorovich, „nejzajímavější na tom jsou samotné myšlenky, které tento důkaz přináší. Kdo ví, k jakým dalším objevům tato technika povede?“
Otevřené dveře do budoucnosti
Jednou z technik, kterou Ben Green a Mehtaab Sawhney použili ve svém důkazu, je koncept Gowersových norem (vizte Wikipedie). Tento postup, původně vyvinutý britským matematikem Timothym Gowersem, je klíčový při analýze složitých matematických problémů, protože umožňuje odhalit vzory tam, kde by jinak vládla náhodnost.
Když nyní máme nový způsob, jak nalézat prvočísla, mohou matematici začít aplikovat tyto postupy na další nevyřešené problémy v teorii čísel. Zároveň se tím otevírá cesta pro zlepšení v oblastech, kde prvočísla hrají roli, například v kryptografii nebo kvantové informatice.
Výsledky vědeckého bádání Bena Greena a Mehtaaba Sawhneyho byly publikovány 12. října na preprintovém serveru arXiv, aby komunita mohla výsledky co nejdříve posoudit a diskutovat, zatímco probíhá proces recenzování. To v praxi znamená, že zatím nebyly zveřejněny v žádném recenzovaném časopise.
Zdroje: arxiv.org, newscientist.com.