Řešení: Spočítali jste matematickou úlohu s kružnicemi v obdélníku?

Napřed znovu zopakujeme zadání zveřejněné v předchozím článku:

Jedna strana obdélníku má délku 8. Do obdélníku jsou vepsány dvě kružnice, které maximálně vyplňují jeho plochu a v jednom bodě se dotýkají. Tímto bodem je vedena úsečka rovnoběžná se známou stranou obdélníku. Mezi body, ve kterých úsečka protne jednotlivé kružnice, má délku 6. Zajímá nás, jak dlouhá je neznámá strana obdélníku.

Klepněte pro větší obrázek

Tady už prozradíme, že hádanku loni zveřejnil na Twitteru @Pangolin. Kvůli tomu, že v diskuzi jsou u ní řešení, jsme mu v pátek nepřiznali autorství.

Tentokrát to byla zjevně těžší úloha. Přišlo méně odpovědí, 54 % z nich bylo nesprávných a část úspěšných řešitelů přiznala, že k výsledku došla prostým změřením (nebo nalezením odpovědi na internetu).

Klepněte pro větší obrázek
Jak dlouho vám trvalo řešení (jen u správných odpovědí) 

Možné řešení

Obrázek popíšeme. Jako T označujeme bod, ve kterém se obě kružnice dotýkají. Protože známe délku protínající úsečky, platí ET + TF = 6. Nás teď ale zajímá jen modře zvýrazněná část mezi úsečkami-průměry protínající kružnice v jejich polovině. Její délka odpovídá polovině ET plus polovině TF. A je to polovina původní úsečky EF, takže 3.

Klepněte pro větší obrázek

Tuto kratší úsečku označíme jako t. Levá strana obdélníku, o které víme, že má délku 8, se skládá z poloměru jedné kružnice x, délky t a poloměru druhé kružnice y. Tedy x + t + y = 8. Protože t je 3, víme, že x + y = 5. Později si na to vzpomeneme.

Klepněte pro větší obrázek

Obrázek teď trochu překreslíme. Úsečku t s délkou 3 přesuneme trochu doleva pod střed levé kružnice, středy kružnic spojíme a získáme pravoúhlý trojúhelník. Jeho přepona mezi středy kružnic má délku x + y, tedy 5. Druhou odvěsnu můžeme spočítat pomocí Pythagorovy věty. Ale když má pravoúhlý trojúhelník strany 3 a 5, je i bez počítání hned jasné, že třetí strana bude mít délku 4.

Klepněte pro větší obrázek

Poloměry kružnic teď ukážeme vodorovně. Z obrázku je zjevné, že horní strana obdélníku má délku x + 4 + y. Už dříve jsme ale zjistili, že x + y = 5. Takže neznámá strana obdélníku má délku 9.

Klepněte pro větší obrázek

Zajímavé je, že vůbec nezáleží na průměru jednotlivých kružnic. Ať jsou v jakémkoli poměru, úsečka, která je zadaným způsobem protíná, má vždy stejnou délku.

Klepněte pro větší obrázek
Diskuze (25) Další článek: Český router Turris dělá osvětu a chce proniknout i do USA

Témata článku: , , , , , , , , , , , , , ,