Řešení: Spočítali jste matematickou úlohu s kružnicemi v obdélníku?

Řešení: Spočítali jste matematickou úlohu s kružnicemi v obdélníku?

Napřed znovu zopakujeme zadání zveřejněné v předchozím článku:

Jedna strana obdélníku má délku 8. Do obdélníku jsou vepsány dvě kružnice, které maximálně vyplňují jeho plochu a v jednom bodě se dotýkají. Tímto bodem je vedena úsečka rovnoběžná se známou stranou obdélníku. Mezi body, ve kterých úsečka protne jednotlivé kružnice, má délku 6. Zajímá nás, jak dlouhá je neznámá strana obdélníku.

Klepněte pro větší obrázek

Tady už prozradíme, že hádanku loni zveřejnil na Twitteru @Pangolin. Kvůli tomu, že v diskuzi jsou u ní řešení, jsme mu v pátek nepřiznali autorství.

Tentokrát to byla zjevně těžší úloha. Přišlo méně odpovědí, 54 % z nich bylo nesprávných a část úspěšných řešitelů přiznala, že k výsledku došla prostým změřením (nebo nalezením odpovědi na internetu).

Klepněte pro větší obrázek
Jak dlouho vám trvalo řešení (jen u správných odpovědí) 

Možné řešení

Obrázek popíšeme. Jako T označujeme bod, ve kterém se obě kružnice dotýkají. Protože známe délku protínající úsečky, platí ET + TF = 6. Nás teď ale zajímá jen modře zvýrazněná část mezi úsečkami-průměry protínající kružnice v jejich polovině. Její délka odpovídá polovině ET plus polovině TF. A je to polovina původní úsečky EF, takže 3.

Klepněte pro větší obrázek

Tuto kratší úsečku označíme jako t. Levá strana obdélníku, o které víme, že má délku 8, se skládá z poloměru jedné kružnice x, délky t a poloměru druhé kružnice y. Tedy x + t + y = 8. Protože t je 3, víme, že x + y = 5. Později si na to vzpomeneme.

Klepněte pro větší obrázek

Obrázek teď trochu překreslíme. Úsečku t s délkou 3 přesuneme trochu doleva pod střed levé kružnice, středy kružnic spojíme a získáme pravoúhlý trojúhelník. Jeho přepona mezi středy kružnic má délku x + y, tedy 5. Druhou odvěsnu můžeme spočítat pomocí Pythagorovy věty. Ale když má pravoúhlý trojúhelník strany 3 a 5, je i bez počítání hned jasné, že třetí strana bude mít délku 4.

Klepněte pro větší obrázek

Poloměry kružnic teď ukážeme vodorovně. Z obrázku je zjevné, že horní strana obdélníku má délku x + 4 + y. Už dříve jsme ale zjistili, že x + y = 5. Takže neznámá strana obdélníku má délku 9.

Klepněte pro větší obrázek

Zajímavé je, že vůbec nezáleží na průměru jednotlivých kružnic. Ať jsou v jakémkoli poměru, úsečka, která je zadaným způsobem protíná, má vždy stejnou délku.

Klepněte pro větší obrázek
Diskuze (25) Další článek: Český router Turris dělá osvětu a chce proniknout i do USA

Témata článku: Internet, Twitter, Matematika, Hádanky, Matematická úloha, Pythagorova věta, Poloměr, Trojúhelník, Obdélník, Úloha, Úsečka, Pangolin, Kružnice, Obrázek, Délka



Sex manželských párů? Jen výjimečně. Ložnice ovládnou roboti s umělou inteligencí

Sex manželských párů? Jen výjimečně. Ložnice ovládnou roboti s umělou inteligencí

** Sex manželských párů jen při zvláštních příležitostech. ** Ložnice ovládnou sexuální roboti s umělou inteligencí. ** I to je jeden ze závěrů Mezinárodní robotické konference.

Filip KůželJiří Liebreich
RobotiSexUmělá inteligence
Prohlédněte si 1600 ruských základen na detailní družicové mapě. Rezavějící Kuzněcov, Moskva i raketoplán Bajkal

Prohlédněte si 1600 ruských základen na detailní družicové mapě. Rezavějící Kuzněcov, Moskva i raketoplán Bajkal

** Google má kvalitní družicové snímky Ruska ** Najdete na nich i tu poslední ruskou vojenskou základnu ** Nadšenci jich lokalizovali už okolo 1 600

Jakub Čížek
RuskoArmádaMapy
Munice ze zrušeného railgunu se postaví střelám s plochou dráhou letu

Munice ze zrušeného railgunu se postaví střelám s plochou dráhou letu

** Americké letectvo chce v nejbližší době postavit a otestovat prototyp nového samohybného děla ** To by mělo být schopné sestřelovat střely s plochou dráhou letu ** Při tom bude využívat munici určenou původně pro railgun

Stanislav Mihulka
VojenstvíUSA
Jak poznat, že máte možná hacknutý telefon? Toto je devět symptomů, které můžete pozorovat

Jak poznat, že máte možná hacknutý telefon? Toto je devět symptomů, které můžete pozorovat

** Jak poznat, že je váš smartphone hacknutý? ** Hledejte známky po nestandardním chování telefonu ** Stačí když telefon vydrží méně nebo topí i v klidovém režimu...

Martin Chroust
Jak...Malware
Webové mapy nám děsně lžou. Skutečnost vypadá úplně jinak a řekneme vám proč

Webové mapy nám děsně lžou. Skutečnost vypadá úplně jinak a řekneme vám proč

** Na většině map vypadá Rusko větší než ve skutečnosti ** A co teprve takové Grónsko, které je reálně 14× menší než Afrika ** Za vše může kartografická projekce a její historický vývoj

Jakub Čížek
MapyHistorie
Izraelský obrněnec ROBUST autonomně bojuje proti pěchotě i tankům

Izraelský obrněnec ROBUST autonomně bojuje proti pěchotě i tankům

** Izraelský zbrojní gigant Elbit Systems nedávno představil střední obrněné vozidlo ROBUST ** To je určeno pro pokročilý autonomní boj proti pěchotě i obrněným vozidlům ** Nový obrněnec by měl operovat s vysokou mírou autonomie, za každého počasí a prakticky v každém terénu

Stanislav Mihulka
IzraelVojenstvíRoboti
Prodělaný covid? Jako když mozek zestárne o dvacet roků

Prodělaný covid? Jako když mozek zestárne o dvacet roků

** Zdoláním nákazy covid nekonč, následky mohou přetrvávat ještě řadu měsíců ** Práci mozku může choroba poznamená podobně, jako kdyby člověk zestárnul o dvacet let ** V IQ testech se to projeví poklesem o deset bodů

Jaroslav Petr
SARS-CoV-2COVID-19Mozek