Pěkná úloha - opravdu jak z matematické olympiády: výpočetně není potřeba nic nad úroveň (dobré) základní školy, ale obtížný je rozbor úlohy, nutnost se zamyslet a umět si udělat správný náčrtek.Lze to řešit i jinak než jak obrázek svádí: soustavou rovnic. A dokonce nevyjdeme hned ani z toho údaje "6". Představme si ten obrázek z řešení, kde je ukázaný ten trojúhelník 3,4,5 a jeho odvěsny označme X a Y. Poloměry kružnic r1 a r2. Pak platí:a = r1 + r2 + Y
b = r1 + r2 + X
(r1 +r2)^2 = X^2 + Y^2Po označení R = r1 + r2 máme tři rovnice pro tři neznámé. V případě naší úlohy jsou to R, X, b. Známe a=8, Y=3 (zde využijeme tu úsečku délky 6). Pak vypočteme b=9, R=5. Zajímavé je, že z té soustavy plyne, že nezáleží vůbec na rozložení r1, r2: v soustavě se vyskytuje pouze jejich součet a je konstantní pro dané rozměry obdélníka. Takže nejen ta úsečka je stále délky 6, ale i součet poloměrů těch kružnic je stálý (zde 5). Diskutující nade mnou toužil po důkazu, tak tady je :)V úvaze se dá pokračovat a spočítat soustavu obecně pro a, b. Potom také souřadnice bodu dotyku kružnic: T = [ b - b . r2 / R ; a . r2 / R ]; poloměr druhé kružnice (r2) je tu jako parametr. A vidíme z toho, že bod dotyku kružnic leží vždy na úhlopříčce toho obdélníka - po převedení z parametrického tvaru nám vychází rovnice pro bod T: Tx + b . Ty / a = b , rovnice přímky procházející vrcholy obdélníka [0,a] a [b,0] - tj. úhlopříčka.Pozn.: Středy těch kružnic ale na úhlopříčce neleží, to mě nejdříve zmátlo, když jsem si tak chtěl ulehčit výpočet původní úlohy :)
Názor byl 1× upraven, naposled 30. 08. 2021 14:02
