Řešení: Spočítali jste úhel a obvod trojúhelníku?

Řešení: Spočítali jste úhel a obvod trojúhelníku?

V pátek jsme zveřejnili další z víkendových matematických hádanek a zde je její řešení.

Byl zadaný čtverec s délkou strany 5 a u trojúhelníků, které ho dělí, jsme znali velikost dvou úhlů. Úkolem bylo:

  1. Spočítat velikost červeně označeného úhlu, na obrázku ∠AEF.
  2. Spočítat obvod zeleně vyznačeného trojúhelníku EC + CF + FE.
image.png

Neměli jste používat trigonometrii, protože úlohu lze vyřešit prostým sčítáním a odčítáním. Podle diskuze u článku se zadáním se ale řada z řešitelů i tak neobešla bez goniometrických funkcí, příště asi musíme upozornění napsat výrazněji.

Kolik času jste strávili s řešením:

image.png

Možné řešení první části úlohy

Začátek je jednoduchý. Protože součet úhlů v každém trojúhelníku je 180° a v zeleně vyznačeném trojúhelníku na obrázku níže je jeden úhel pravý, lze snadno vypočítat třetí úhel: 180° − 90° − 70° = 20°.

Ve čtverci je každý úhel pravý, takže i ∠BAD. Pokud už známe hodnoty 20° a 45°, je jasné, že úhel ∠DAE bude mít velikost 90° − 20° − 45° = 25°.

Stejně jako u zeleného trojúhelníku nyní můžeme i u modrého spočítat velikost zbývajícího úhlu: 180° − 90° − 25° = 65°.

image.png

Nyní provedeme trochu zvláštní operaci. Zelený trojúhelník ABF otočíme kolem vrcholu A a přidáme ho k levé části čtverce.

image.png

Levou hranu čtverce si na chvíli odmyslíme. Vznikne tím velký trojúhelník F'AE, u jehož vrcholu A je úhel 20° + 25° = 45°.

image.png

A teď pozor: nově vzniklý sytě zelený trojúhelník F'AE je stejný jako světlejší FAE, jen zrcadlově převrácený. Jak je to možné? Inu u fialově zvýrazněných stran platí AF = AF'. Připomeňte si, že levá vznikla otočením horního trojúhelníku ABF. Modrá strana AE je pak oběma trojúhelníkům společná a úhel kolem vrcholu A je u obou 45°. To stačí pro určení trojúhelníku, oba dva jsou stejné.

Trojúhelníky jsou souměrné podle společné strany AE. Protože ∠F'EA = 65°, úplně stejnou velikost 65° bude mít i hledaný úhel ∠FEA.

Druhá část úlohy

Pojďme se vrátit k situaci, kdy jsme horní trojúhelník otočili kolem vrcholu A a zkopírovali k levé části čtverce.

Modře zvýrazněnou úsečku BF na pravé straně označíme jako x. Díky zkopírování trojúhelníku má stejnou délku také úsečka F'D. 

image.png

Na obrázku je červeně vyznačená strana trojúhelníku, u kterého máme spočítat obvod. Mezi body FC má potom velikost 5 − x.

Vzdálenost bodů DE na následujícím obrázku označme jako y. Mezi body EC, které tvoří druhou část trojúhelníku, je potom vzdálenost 5 − y.


image.png

Vzpomeňte si, že trojúhelníky F'AE a FAE jsou shodné, jen zrcadlově převrácené. Délku poslední strany trojúhelníku proto můžeme vyjádřit jako x + y. Obvod trojúhelníku je potom:

(5 − y) + (5 − x) + (x + y)

Protože x − x = 0 a rovněž y − y = 0, zůstane ve vzorci je 5 + 5. Hledaný obvod trojúhelníku je 10.

Postup a anglický komentář k řešení si můžete pustit v tomto videu, ve kterém jsme se úlohou inspirovali:

Určitě si přečtěte

Články odjinud