Řešení: Spočítali jste úhel a obvod trojúhelníku?

Řešení: Spočítali jste úhel a obvod trojúhelníku?

V pátek jsme zveřejnili další z víkendových matematických hádanek a zde je její řešení.

Byl zadaný čtverec s délkou strany 5 a u trojúhelníků, které ho dělí, jsme znali velikost dvou úhlů. Úkolem bylo:

  1. Spočítat velikost červeně označeného úhlu, na obrázku ∠AEF.
  2. Spočítat obvod zeleně vyznačeného trojúhelníku EC + CF + FE.
Klepněte pro větší obrázek

Neměli jste používat trigonometrii, protože úlohu lze vyřešit prostým sčítáním a odčítáním. Podle diskuze u článku se zadáním se ale řada z řešitelů i tak neobešla bez goniometrických funkcí, příště asi musíme upozornění napsat výrazněji.

Kolik času jste strávili s řešením:

Klepněte pro větší obrázek

Možné řešení první části úlohy

Začátek je jednoduchý. Protože součet úhlů v každém trojúhelníku je 180° a v zeleně vyznačeném trojúhelníku na obrázku níže je jeden úhel pravý, lze snadno vypočítat třetí úhel: 180° − 90° − 70° = 20°.

Ve čtverci je každý úhel pravý, takže i ∠BAD. Pokud už známe hodnoty 20° a 45°, je jasné, že úhel ∠DAE bude mít velikost 90° − 20° − 45° = 25°.

Stejně jako u zeleného trojúhelníku nyní můžeme i u modrého spočítat velikost zbývajícího úhlu: 180° − 90° − 25° = 65°.

Klepněte pro větší obrázek

Nyní provedeme trochu zvláštní operaci. Zelený trojúhelník ABF otočíme kolem vrcholu A a přidáme ho k levé části čtverce.

Klepněte pro větší obrázek

Levou hranu čtverce si na chvíli odmyslíme. Vznikne tím velký trojúhelník F'AE, u jehož vrcholu A je úhel 20° + 25° = 45°.

Klepněte pro větší obrázek

A teď pozor: nově vzniklý sytě zelený trojúhelník F'AE je stejný jako světlejší FAE, jen zrcadlově převrácený. Jak je to možné? Inu u fialově zvýrazněných stran platí AF = AF'. Připomeňte si, že levá vznikla otočením horního trojúhelníku ABF. Modrá strana AE je pak oběma trojúhelníkům společná a úhel kolem vrcholu A je u obou 45°. To stačí pro určení trojúhelníku, oba dva jsou stejné.

Trojúhelníky jsou souměrné podle společné strany AE. Protože ∠F'EA = 65°, úplně stejnou velikost 65° bude mít i hledaný úhel ∠FEA.

Druhá část úlohy

Pojďme se vrátit k situaci, kdy jsme horní trojúhelník otočili kolem vrcholu A a zkopírovali k levé části čtverce.

Modře zvýrazněnou úsečku BF na pravé straně označíme jako x. Díky zkopírování trojúhelníku má stejnou délku také úsečka F'D. 

Klepněte pro větší obrázek

Na obrázku je červeně vyznačená strana trojúhelníku, u kterého máme spočítat obvod. Mezi body FC má potom velikost 5 − x.

Vzdálenost bodů DE na následujícím obrázku označme jako y. Mezi body EC, které tvoří druhou část trojúhelníku, je potom vzdálenost 5 − y.


Klepněte pro větší obrázek

Vzpomeňte si, že trojúhelníky F'AE a FAE jsou shodné, jen zrcadlově převrácené. Délku poslední strany trojúhelníku proto můžeme vyjádřit jako x + y. Obvod trojúhelníku je potom:

(5 − y) + (5 − x) + (x + y)

Protože x − x = 0 a rovněž y − y = 0, zůstane ve vzorci je 5 + 5. Hledaný obvod trojúhelníku je 10.

Postup a anglický komentář k řešení si můžete pustit v tomto videu, ve kterém jsme se úlohou inspirovali:

Diskuze (9) Další článek: Drawboard PDF je skvělá čtečka pro Windows. Zvládne kreslení, popisky i další pokročilé úpravy zdarma

Témata článku: Hádanky, Matematika, FAE, Velikost, Čtverec, Vrchol, ABF, Obrázek, Úloha, Obvod, Trojúhelník, Úhel, Délka



40 ženských erotických symbolů osmdesátých let

40 ženských erotických symbolů osmdesátých let

Vyzývavá krása, rafinovanost, nevinnost i perverzní voyeurské fantazie. Filmaři už se sexu ve filmu nebáli, a tak dala 80. léta vzniknout řadě kultovních ženských erotických symbolů.

Marek Čech
Filmy a seriály