V pátek jsme zveřejnili další z víkendových matematických hádanek a zde je její řešení.
Byl zadaný čtverec s délkou strany 5 a u trojúhelníků, které ho dělí, jsme znali velikost dvou úhlů. Úkolem bylo:
- Spočítat velikost červeně označeného úhlu, na obrázku ∠AEF.
- Spočítat obvod zeleně vyznačeného trojúhelníku EC + CF + FE.
Neměli jste používat trigonometrii, protože úlohu lze vyřešit prostým sčítáním a odčítáním. Podle diskuze u článku se zadáním se ale řada z řešitelů i tak neobešla bez goniometrických funkcí, příště asi musíme upozornění napsat výrazněji.
Kolik času jste strávili s řešením:
Možné řešení první části úlohy
Začátek je jednoduchý. Protože součet úhlů v každém trojúhelníku je 180° a v zeleně vyznačeném trojúhelníku na obrázku níže je jeden úhel pravý, lze snadno vypočítat třetí úhel: 180° − 90° − 70° = 20°.
Ve čtverci je každý úhel pravý, takže i ∠BAD. Pokud už známe hodnoty 20° a 45°, je jasné, že úhel ∠DAE bude mít velikost 90° − 20° − 45° = 25°.
Stejně jako u zeleného trojúhelníku nyní můžeme i u modrého spočítat velikost zbývajícího úhlu: 180° − 90° − 25° = 65°.
Nyní provedeme trochu zvláštní operaci. Zelený trojúhelník ABF otočíme kolem vrcholu A a přidáme ho k levé části čtverce.
Levou hranu čtverce si na chvíli odmyslíme. Vznikne tím velký trojúhelník F'AE, u jehož vrcholu A je úhel 20° + 25° = 45°.
A teď pozor: nově vzniklý sytě zelený trojúhelník F'AE je stejný jako světlejší FAE, jen zrcadlově převrácený. Jak je to možné? Inu u fialově zvýrazněných stran platí AF = AF'. Připomeňte si, že levá vznikla otočením horního trojúhelníku ABF. Modrá strana AE je pak oběma trojúhelníkům společná a úhel kolem vrcholu A je u obou 45°. To stačí pro určení trojúhelníku, oba dva jsou stejné.
Trojúhelníky jsou souměrné podle společné strany AE. Protože ∠F'EA = 65°, úplně stejnou velikost 65° bude mít i hledaný úhel ∠FEA.
Druhá část úlohy
Pojďme se vrátit k situaci, kdy jsme horní trojúhelník otočili kolem vrcholu A a zkopírovali k levé části čtverce.
Modře zvýrazněnou úsečku BF na pravé straně označíme jako x. Díky zkopírování trojúhelníku má stejnou délku také úsečka F'D.
Na obrázku je červeně vyznačená strana trojúhelníku, u kterého máme spočítat obvod. Mezi body FC má potom velikost 5 − x.
Vzdálenost bodů DE na následujícím obrázku označme jako y. Mezi body EC, které tvoří druhou část trojúhelníku, je potom vzdálenost 5 − y.
Vzpomeňte si, že trojúhelníky F'AE a FAE jsou shodné, jen zrcadlově převrácené. Délku poslední strany trojúhelníku proto můžeme vyjádřit jako x + y. Obvod trojúhelníku je potom:
(5 − y) + (5 − x) + (x + y)
Protože x − x = 0 a rovněž y − y = 0, zůstane ve vzorci je 5 + 5. Hledaný obvod trojúhelníku je 10.
Postup a anglický komentář k řešení si můžete pustit v tomto videu, ve kterém jsme se úlohou inspirovali:
