Řešení: Spočítali jste úhel a obvod trojúhelníku?

V pátek jsme zveřejnili další z víkendových matematických hádanek a zde je její řešení.

Byl zadaný čtverec s délkou strany 5 a u trojúhelníků, které ho dělí, jsme znali velikost dvou úhlů. Úkolem bylo:

  1. Spočítat velikost červeně označeného úhlu, na obrázku ∠AEF.
  2. Spočítat obvod zeleně vyznačeného trojúhelníku EC + CF + FE.
Klepněte pro větší obrázek

Neměli jste používat trigonometrii, protože úlohu lze vyřešit prostým sčítáním a odčítáním. Podle diskuze u článku se zadáním se ale řada z řešitelů i tak neobešla bez goniometrických funkcí, příště asi musíme upozornění napsat výrazněji.

Kolik času jste strávili s řešením:

Klepněte pro větší obrázek

Možné řešení první části úlohy

Začátek je jednoduchý. Protože součet úhlů v každém trojúhelníku je 180° a v zeleně vyznačeném trojúhelníku na obrázku níže je jeden úhel pravý, lze snadno vypočítat třetí úhel: 180° − 90° − 70° = 20°.

Ve čtverci je každý úhel pravý, takže i ∠BAD. Pokud už známe hodnoty 20° a 45°, je jasné, že úhel ∠DAE bude mít velikost 90° − 20° − 45° = 25°.

Stejně jako u zeleného trojúhelníku nyní můžeme i u modrého spočítat velikost zbývajícího úhlu: 180° − 90° − 25° = 65°.

Klepněte pro větší obrázek

Nyní provedeme trochu zvláštní operaci. Zelený trojúhelník ABF otočíme kolem vrcholu A a přidáme ho k levé části čtverce.

Klepněte pro větší obrázek

Levou hranu čtverce si na chvíli odmyslíme. Vznikne tím velký trojúhelník F'AE, u jehož vrcholu A je úhel 20° + 25° = 45°.

Klepněte pro větší obrázek

A teď pozor: nově vzniklý sytě zelený trojúhelník F'AE je stejný jako světlejší FAE, jen zrcadlově převrácený. Jak je to možné? Inu u fialově zvýrazněných stran platí AF = AF'. Připomeňte si, že levá vznikla otočením horního trojúhelníku ABF. Modrá strana AE je pak oběma trojúhelníkům společná a úhel kolem vrcholu A je u obou 45°. To stačí pro určení trojúhelníku, oba dva jsou stejné.

Trojúhelníky jsou souměrné podle společné strany AE. Protože ∠F'EA = 65°, úplně stejnou velikost 65° bude mít i hledaný úhel ∠FEA.

Druhá část úlohy

Pojďme se vrátit k situaci, kdy jsme horní trojúhelník otočili kolem vrcholu A a zkopírovali k levé části čtverce.

Modře zvýrazněnou úsečku BF na pravé straně označíme jako x. Díky zkopírování trojúhelníku má stejnou délku také úsečka F'D. 

Klepněte pro větší obrázek

Na obrázku je červeně vyznačená strana trojúhelníku, u kterého máme spočítat obvod. Mezi body FC má potom velikost 5 − x.

Vzdálenost bodů DE na následujícím obrázku označme jako y. Mezi body EC, které tvoří druhou část trojúhelníku, je potom vzdálenost 5 − y.


Klepněte pro větší obrázek

Vzpomeňte si, že trojúhelníky F'AE a FAE jsou shodné, jen zrcadlově převrácené. Délku poslední strany trojúhelníku proto můžeme vyjádřit jako x + y. Obvod trojúhelníku je potom:

(5 − y) + (5 − x) + (x + y)

Protože x − x = 0 a rovněž y − y = 0, zůstane ve vzorci je 5 + 5. Hledaný obvod trojúhelníku je 10.

Postup a anglický komentář k řešení si můžete pustit v tomto videu, ve kterém jsme se úlohou inspirovali:

Diskuze (9) Další článek: Drawboard PDF je skvělá čtečka pro Windows. Zvládne kreslení, popisky i další pokročilé úpravy zdarma

Témata článku: Matematika, Hádanky, Délka, Obrázek, Obvod, FAE, ABF, Čtverec, Úloha, Velikost, Trojúhelník, Vrchol, Úhel



Sex manželských párů? Jen výjimečně. Ložnice ovládnou roboti s umělou inteligencí

Sex manželských párů? Jen výjimečně. Ložnice ovládnou roboti s umělou inteligencí

** Sex manželských párů jen při zvláštních příležitostech. ** Ložnice ovládnou sexuální roboti s umělou inteligencí. ** I to je jeden ze závěrů Mezinárodní robotické konference.

Filip KůželJiří Liebreich
RobotiSexUmělá inteligence
DARPA testuje autonomní bojová terénní vozidla RACER

DARPA testuje autonomní bojová terénní vozidla RACER

** DARPA vyvíjí autonomní vozidla pro bojové jednotky ** Ta by mohla jít do akce jako doprovod lidmi řízených strojů ** V komplikovaném terénu musejí být stejně rychlá a manévrovat stejně obratně jako vozidla s lidskou posádkou

Stanislav Mihulka
DARPAVojenstvíRoboti
Nejzajímavější zbraně ve válce na Ukrajině. Americký HIMARS děsí Rusko svojí přesností

Nejzajímavější zbraně ve válce na Ukrajině. Americký HIMARS děsí Rusko svojí přesností

** Oživený výčet zbraní, které zaujmou technologickým řešením ** Neděláme si nárok na kompletní seznam ** Informace často chybí, a tak se snažíme kličkovat mezi propagandou

Jakub Čížek
UkrajinaZbraněRuskoArmáda
Tuto českou základnu plnou satelitů nesmíte vidět. V Mapy.cz je každá anténa pečlivě vyretušovaná

Tuto českou základnu plnou satelitů nesmíte vidět. V Mapy.cz je každá anténa pečlivě vyretušovaná

** Zapomeňte na rozčtverečkovaná místa, kterých si každý všimne ** Mapy.cz musely dokonale zakrýt desítky parabol ** Základnou se přitom na webu chlubí i její majitel. Kocourkov

Jakub Čížek
ČeskoMapy.czMapy
Qualcomm QRD jsou telefony, které jste nikdy neviděli. Stojí tisíce dolarů, přesto si je nemůžete koupit

Qualcomm QRD jsou telefony, které jste nikdy neviděli. Stojí tisíce dolarů, přesto si je nemůžete koupit

** Nabízí ty nejmodernější technologie a cenou předčí nejdražší telefony ** Přesto si je nekoupíte a zřejmě byste ani nechtělo ** Toto jsou referenční telefony Qualcomm QRD

Martin Miksa
SnapdragonQualcommSmartphony
Superzemě jsou větší, běžnější, a také obyvatelnější než planety jako Země. Jsou doslova superobyvatelné

Superzemě jsou větší, běžnější, a také obyvatelnější než planety jako Země. Jsou doslova superobyvatelné

** Země podle všeho není nejlepším ze všech možných světů, alespoň pokud jde o obyvatelnost lidmi ** Máme štěstí, že jsme naživu ** U superzemí, tedy planet větších než Země a menších než ledoví obři jako Uran nebo Neptun, to je jiné

Stanislav Mihulka
ZeměAstronomie
Hubbleův dalekohled pozoroval hojení veleobra Betelgeuse po gigantické explozi

Hubbleův dalekohled pozoroval hojení veleobra Betelgeuse po gigantické explozi

** Hubbleův vesmírný dalekohled svoji výkonnou optiku zaměřuje i na hvězdu Betelgeuse ** Ta před časem předvedla velmi neobvyklé chování, které u mnohých vzbudilo očekávání exploze supernovy ** Na ultimátní výbuch sice nedošlo, i tak se ale na Betelgeuse dějí pozoruhodné věci

Stanislav Mihulka
DalekohledyAstronomie
Jak na Snapseed. Je to neuvěřitelné, ale nejlepší aplikace na úpravu fotek v mobilu je stále zdarma

Jak na Snapseed. Je to neuvěřitelné, ale nejlepší aplikace na úpravu fotek v mobilu je stále zdarma

Mobilní telefony mají tu výhodu, že jsou neustále při ruce a snadno s nimi vyfotografujete jakýkoli moment. Nevýhodou je, že pak máte telefon plný fotek.

Adam Kos
FotkyMobilní aplikace
Nový hit. Tahle appka vám udělá profilovku jako od pouličního ilustrátora

Nový hit. Tahle appka vám udělá profilovku jako od pouličního ilustrátora

** Aplikace NewProfilePic se na Androidu stala hitem ** Můžete si v ní vytvořit profesionálně vypadající profilovky ** Pozor ale na agresivní cenovou politiku za Pro verzi

Martin Chroust
FotografieUmělá inteligenceMobilní aplikace
Nejničivější bomba v historii lidstva. Rusko zveřejnilo dokument o testu Car-bomby
David Polesný
Sovětský svazAtomová bombaJaderný útokZbraně