Spočítali jste úlohu, která byla v roce 1869 v přijímačkách na MIT? Výsledky, postupy řešení a výherci

Spočítali jste úlohu, která byla v roce 1869 v přijímačkách na MIT? Výsledky, postupy řešení a výherci

Řešení páteční hádanky nakonec vydáváme v samostatném článku. Kdyby se k ní někdo dostal později, ať ho nesvádí rovnou najet k výsledku.

Úkol byl pro vás tentokrát jednodušší, než jsme čekali. Správná odpověď je, že délka kratší odvěsny a je 15, délka delší odvěsny b je 20. Kolmice x má délku 12.

Výherci

Tři výherce nevyhlášené soutěže jsme tentokrát losovali. Je to asi lepší, ať mají šanci i ti, kteří se zapojí i později o víkendu. Uvádíme jen část e-mailových adres, poslali jsme na ně zprávu.

  • Půlroční předplatné Živě Premium: slayter…
  • Dvouměsíční předplatné: kopecky…
  • Dvouměsíční předplatné: zaruba…

Řešení: Tři rovnice o třech neznámých

Tímto způsobem, třemi Pythagorovými větami, řešila úlohu zřejmě většina z vás. Platí tyto rovnice o třech neznámých:

Klepněte pro větší obrázek

Do první rovnice místo a dosadíme výrazy z druhé a třetí. Tím získáme jedinou rovnici, ve které je už pouze neznámá x:

Klepněte pro větší obrázek

Pro zjištění délky odvěsen a a b stačí použít Pythagorovu větu.

Klepněte pro větší obrázek

Řešení: Euklidova věta

Kdo si vzpomněl na Euklidovu větu o výšce v pravoúhlém trojúhelníku, měl výpočet délky úsečky x jednodušší. Platí totiž:

Klepněte pro větší obrázek

Postup pro výpočet délky odvěsen je stejný jako v předchozím příkladu.

Řešení: Podobnost trojúhelníků

Kolmice spuštěná z vrcholu pravoúhlého trojúhelníku směrem k přeponě ho rozdělí na dva menší, znovu pravoúhlé trojúhelníky. Pro naši úlohu je důležité, že tyto trojúhelníky jsou podobné. Podívejte se, co se stane, když jeden z nich otočíme, aby obě přepony směřovaly stejným směrem.

 

Klepněte pro větší obrázek

Potom platí, že poměr známé délky 9 ke kolmici x je stejný jako poměr x k délce 16. Snadno lze už spočítat, že kolmice má délku 12.

Klepněte pro větší obrázek

Pro výpočet délky odvěsen opět použijeme Pythagorovu větu.

Řešení: Zednický trojúhelník

Možná si pamatujete, že pravý úhel vznikne u trojúhelníku se stranami v poměru 5 : 4 : 3. Nejdelší strana má v našem trojúhelníku délku 25, je tedy pětkrát delší než „zednický“ vzor. Pětkou tedy vynásobíme i 4 a 3.

Pro výpočet x využijeme Pythagorovu větu nebo opět poměry 5 : 4 : 3.

Další řešení

Pro zjištění neznámých je možné použít i goniometrické funkce, několikrát jste zmínili Thaletovu kružnici (někteří z vás použili i geometrické řešení). Objevilo se i pár metod typu pokus–omyl.


Další hádanky?

Kdybyste měli tip na další hádanky, které bychom mohli připravit v článku pro čtenáře Živě, budeme rádi, když nám napíšete. Hledáme úlohy, které jsou zajímavé, netradiční, třeba s překvapivými výsledky. Může to být matematika, fyzika, logika… náročnost by ale měla odpovídat středoškolskému učivu, nechceme zase nabízet úlohy, které vyřeší jen pár lidí.

Diskuze (39) Další článek: Musk znovu potvrzuje brutální zrychlení Roadsteru. Připlaťte za trysky SpaceX a jste na 1,1 sekundy

Témata článku: Hádanky, Matematika, MIT, Úloha, Trojúhelník, Délka, Přijímačky, Pythagoras, Věta, Výherce, Postup řešení, Řešení, Kolmice